Знакомство с принципом дирихле

План-конспект факультативного занятия по теме "Принцип Дирихле"

знакомство с принципом дирихле

Логический прием, который был использован прирешении этой задачи, называется принципом Дирихле. Дирихле Петер Август Лежен. Знакомства. · Принцип Дирихле и делимость. · Точки, многоугольники и принцип Дирихле. Самое главное - это понять, что в задаче. теме «Принцип Дирихле» в соответствии с требованиями ФГОС ООО. . Дирихле. Практика обучения показала, что при первом знакомстве более.

В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок. В школе учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года. В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?

Если бы такого месяца не нашлось, то в каждом из 12 месяцев день рождения отмечали бы не более трёх учеников. Принцип Дирихле в теории чисел Возможна следующая переформулировка принципа Дирихле: При делении с остатком на p может встретиться конечное число различных остатков: Они то и играют здесь роль "клеток", а сами целые числа являются "зайцами".

Так как чисел "зайцев" больше, чем остатков "клеток"то хотя бы два числа "сидят в одной клетке", то есть имеют одинаковые остатки при делении на p.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Научно-исследовательская работа - PDF

Дано 11 различных целых чисел. Доказать, что из них можно выбрать два числа, разность которых делится на По крайней мере два числа из 11 дают одинаковый остаток при делении на 10 принцип Дирихле. Тогда их разность делится на Из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна.

Все числа можно разбить на два класса: Невозможно распределить три числа по двум классам так, чтобы ни в какой класс не попало более одного числа. Значит, среди любых трёх целых чисел найдутся два числа одинаковой чётности.

знакомство с принципом дирихле

Принцип Дирихле и геометрия Задача 1. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какието три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см. Разобьем наш квадрат на 25 квадратов со стороной 20 см. По обобщенному принципу Дирихле, в какой-то из них попадёт, по крайней мере, три точки из 51 брошенной. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см. В квадрате площадью S расположено фигур, сумма площадей которых больше 99S.

Доказать, что у всех этих фигур есть общая точка. Пусть S 1, S 2, Тогда эта точка принадлежит каждой из исходных фигур и является искомой. Принцип Дирихле и комбинаторные задачи Задача 1.

Докажите, что в любой момент турнира по шашкам в котором каждый встречается с остальными участниками по одному разу найдется два игрока, сыгравшие одинаковое число партий. Более общая форма принципа Дирихле, включающая все предыдущие, такова: В действительности такой простой и понятный принцип значительно облегчает решение задач по математике и доказательства многих трудоемких теорем. Просто необходимо учитывать, что зайцев и ячейки можно легко заменить на математические предметы и объекты цифры, точки, отрезки, фигуры и.

Применение принципа Дирихле для решения различных задач 1. Классификация задач, решаемых с помощью принципа Дирихле Прежде чем применять принцип Дирихле в решении логических задач, необходимо понять, какие задачи к ним относятся. К логическим задачам относят такие, при решении которых главное, определяющее — это отыскание связи между фактами, сопоставление их, построение цепочки рассуждений для достижения цели.

Хотя современные логические задачи по математике предъявляют к ученикам творческие требования и предполагают нестандартные подходы, решение через принцип Дирихле не всегда такое простое и понятное. Иногда очень трудно определить, какую величину считать животным, а какую — клеткой.

При этом все равно нельзя определить, в какой именно клетке будет находиться объект. То есть можно просто доказать существование такой ячейки, но нельзя конкретизировать её. Таким образом, можно определить следующий вид задач, к которым применим принцип Дирихле: На основании данного определения выберем такие задачи в разных разделах математической подготовки учащихся.

Принцип Дирихле и арифметика Задача 1. В школе учится ученика. Доказать, что по крайне мере у двух учеников совпадают инициалы. В русском алфавите 33 буквы. Следовательно, по крайне мере у двух учеников совпадают инициалы.

В классе 29 учеников. Во время диктанта один ученик допустил 13 ошибок, а все остальные ученики — меньше. Доказать, что в классе найдутся по крайне мере 3 ученика допустивших одинаковое количество ошибок.

На каждом из них записано одно из чисел от 0 нет ошибок до Остальные 28 карточек надо разложить в 13 ящиков. Принцип Дирихле и делимость чисел Задача 1. Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.

  • План-конспект факультативного занятия по теме "Принцип Дирихле"
  • Презентация по математике на тему "Принцип Дирихле"
  • ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Научно-исследовательская работа

При делении на 5 возможных 5 разных остатков: Так как чисел 6, то найдутся 2 числа с одинаковыми остатками; их разность разделится на 5. Доказать, что из любых трёх целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2. Среди трёх целых чисел обязательно найдутся два числа одинаковой чётности так как чисел 3, а классов — чётных и нечётных чисел — лишь два. Сумма их делится на 2. Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три, сумма которых делится на 3?

При делении на 3 есть три остатка: Принцип Дирихле и геометрия Задача 1. Прямая k проходит через плоскость треугольника ABC, однако не пересекает ни одну его вершину.

Необходимо доказать, что она не может пересекать три его стороны. Представим, как прямая k разбивает треугольник на две плоскости, назовём их s1 и s2. Теперь сформулируем принцип Дирихле.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ

Пусть в n коробок помещены k предметов. Отметим, что не важно, в какой именно коробке находятся по крайней мере два предмета. Также не имеет значение, сколько предметов в этой коробке, и сколько всего таких коробок. Важно то, что существует хотя бы одна коробка с не менее чем двумя предметами два или. В литературе этот принцип также встречается под названиями: Вернемся к задаче 1.

Решим эту задачу, используя принцип Дирихле. Пусть имеются коробок, соответственно пронумерованных 1,2,3, Помещаем мысленно в эти коробки елей следующим образом: Поскольку елей, то есть "предметов", больше, чем коробок, следует, что по крайней мере одна коробка будет содержать не менее двух предметов, то есть, не менее двух елей.

Так как в одной и той же коробке находятся ели с одинаковым числом иголок, приходим к выводу, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок. Конечно, задача 1, как мы убедились, очевидна, и легко может быть решена без помощи принципа Дирихле. Поэтому, естественно, возникает вопрос: Простота решения в значительной степени зависит от того, насколько удачно будут выбраны "коробки" и "предметы".

То есть, при использовании принципа Дирихле необходимо указать, что кто будет "коробкой", а что кто - "предметом". В дальнейшем, для закрепления материала, приведем решения ряда задач.

Доказать, что среди шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5. Рассмотрим 5 коробок, пронумерованных 0,1,2,3,4, - цифрами, представляющими собой остатки от деления на 5. Распределим в эти коробки шесть произвольных целых чисел в соответсвии с остатком от деления на 5, то есть, в одну и ту же коробку помещаем числа, имеющие одинаковый остаток от деления на 5.

знакомство с принципом дирихле

Поскольку чисел "предметов" больше, чем коробок, согласно принципу Дирихле, существует одна коробка, содержащая более одного предмета. То есть, существуют по крайней мере два числа, помещенные в одну и ту же коробку. Следовательно, существуют два числа с одинаковым остатком от деления на 5. Тогда, разность этих чисел делится на 5.

знакомство с принципом дирихле

Рассмотрим натуральные числа и распределим эти "предметы" в "коробки" пронумерованные 0,1, В коробку s помещаем число ak, которое имеет остаток от деления на n, равный s.

Если в коробке с номером 0 находится один "предмет" то есть, одно числотогда задача решена. В противном случае n "предметов" находятся в n-1 "коробках". Согласно приципу Дирихле, существуют два "предмета" числанаходящиеся в одной и той же коробке.

То есть, существуют два числа, имеющие одинаковый остаток от деления на n. Их разность будет делится на n, и как легко заметить, разность чисел, состоящих из цифр 0 и 5, также будет числом, состоящим из 0 и 5. Доказать, что среди них найдутся два человека с одинаковым числом знакомых предполагается, что если человек A является знакомым человека B, то и B является знакомым A; никто не считается своим собственным знакомым. Обозначим через m количество человек, которые имеют хотя бы одно знакомство в зале это и будут "предметы".

Каждый из этих m человек может иметь 1,2, Согластно принципу Дирихле, сущетсвуют два человека с одинаковым числом знакомых. При решении некоторых задач полезно применять обобщенный принцип Дирихле. В доме живут 40 учеников. Существует ли такой месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения. Пусть "коробками" будут месяцы, а "предметами" - ученики. Распределяем, "предметы" по "коробкам" в зависимости от месяца рождения.

Пусть M - множество, состоящее из n целых чисел. Доказать, что существует подмножество M1 множества M такое, что сумма элементов множества M1 делилась бы на n.

Принцип Дирихле

Так как имеются n сумм и n - 1 остатков, то по крайней мере две суммы дадут одинаковый остаток от деления на n. Рассмотрим разности a2 - a1, Эти числа различны, положительны и меньшие, чем 2n. Согласно принципу Дирихле, хотя бы два числа совпадают. Пусть это будут числа ak и am - a1.

Доказать, что произведение a1 - 1 a2 - Поскольку произведение состоит из n сомножителей, один по крайней мере из них будет содержать только нечетные числа и уменьшаемое и вычитаемое будут нечетными. Таким образом, этот множитель будет четным, и произведение также будет четным. В коробках лежат яблоки. Известно, что в каждой коробке находятся не более яблок. Доказать, что существуют хотя бы 3 коробки, которые содержат одинаковое количество яблок.